Paraboles orthogonales


Les droites d’un quadrillage sont les lieux des points du plan cartésien (x, y) tels que l’une des coordonnées, x ou y, est fixe et l’autre peut prendre toutes les valeurs. En considérant ces points (x, y) comme aussi des nombres complexes, on peut transformer ces droites en paraboles en faisant correspondre les nombres complexes appartenant aux droites à leurs carrés, ce qui revient à envoyer le point (x, y) au point (X, Y), tel que X = x² – y² et Y = 2xy.  Soit une droite verticale telle que  x = Q, alors on aura, comme points de la parabole X = Q²-y² et Y= 2Qy.  Isolant la variable y dans ces deux égalités puis en les reliant, on a y = √(Q²-X) = Y ÷ 2Q, ce qui revient à l’équation X = Q² – (Y ÷ 2Q)², soit celle d’une parabole d’axe horizontal, s’allongeant vers la gauche.  Faisant les calculs pour les points d’une droite horizontale, on tombe sur des paraboles d’axe horizontal aussi, mais qui s’allongent vers la droite.  Ce qui est remarquable, c’est que ces deux familles de paraboles se croisent à angles droits, tout comme les deux familles de droites à partir desquelles elles sont construites. C’est la magie des nombres complexes.  Dans l’image présentée ci-haut, on a ces familles de paraboles, mais présentées en s’allongeant vers le haut et le bas. Ci-dessous, on a un réseau de triangles équilatéraux en paraboles.

Laisser un commentaire

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l'aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion / Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l'aide de votre compte Twitter. Déconnexion / Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l'aide de votre compte Facebook. Déconnexion / Changer )

Photo Google+

Vous commentez à l'aide de votre compte Google+. Déconnexion / Changer )

Connexion à %s

%d blogueurs aiment cette page :